а) Решите уравнение \( cos(3x)-sin(7x-\frac{\pi}{2})=cos5x \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (-pi;0.5pi)
Решение
\( cos3x+cos7x=cos5x \)
\( 2cos5x*cos2x=cos5x \)
\( cos5x(2cos2x-1)=0 \)
\( cos5x=0 \)
\( cos2x=\frac{1}{2} \)
\( 5x=\frac{\pi}{2}+\pi n \)
\( 2x=±\frac{\pi}{3}+2 \pi n \)
\( x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5} \)
\( x=±\frac{\pi}{6}+ \pi n \)
б) Давайте отберем через тригонометрическую окружность
Возможно было бы понятней отобрать 2-ю серию корней с помощью тригонометрического неравества (можете сделать это самостоятельно)
\( x=-\frac{9\pi}{10},-\frac{5\pi}{6},-\frac{7\pi}{10},-\frac{\pi}{2},-\frac{3\pi}{10},-\frac{\pi}{6},-\frac{\pi}{10},\frac{\pi}{10},\frac{\pi}{6},\frac{3\pi}{10} \)
Ответ: а) \( x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5} \),\( x=±\frac{\pi}{6}+ \pi n \)
Б) \( x=-\frac{9\pi}{10},-\frac{5\pi}{6},-\frac{7\pi}{10},-\frac{\pi}{2},-\frac{3\pi}{10},-\frac{\pi}{6},-\frac{\pi}{10},\frac{\pi}{10},\frac{\pi}{6},\frac{3\pi}{10} \)