а) Решите уравнение \( ctg^2x+2\sqrt{3}ctgx+3sin^2x=-3sin^2(x-\frac{3\pi}{2}) \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5.5pi;-4pi]
Решение
\( sin^2(x-\frac{3\pi}{2})=cos^2x \)
значит перепишем уравнение
\( ctg^2x+2\sqrt{3}ctgx+3sin^2x=-3cos^2x \)
\( ctg^2x+2\sqrt{3}ctgx+3=0 \)
Пусть \( ctgx=t \)
\( t^2+2\sqrt{3}t+3=0 \)
\( t=-\sqrt{3} \)
\( ctgx=-\sqrt{3} \)
\( x=-\frac{\pi}{6}+\pi n \)
Б) Легко отобрать на тригонометрической окружности
Ответ: а) \( x=-\frac{\pi}{6}+\pi n \) б) \( x=-\frac{31\pi}{6},-\frac{25\pi}{6} \)