а) Решите уравнение \( 3^{2x+1}-4*3^x+4=(\sqrt{-x^2-\frac{x}{2}+\frac{1}{2}})^2+x^2+\frac{x}{2}+\frac{5}{2} \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\( log_{2}\frac{1}{6};log_{2}\frac{2}{3} \)]
Решение
ОДЗ
\( -x^2-\frac{x}{2}+0.5>=0 \)
\( -1<=x<=0.5 \)
\( 3*3^{2x}-4*3^x+4=-x^2-\frac{x}{2}+0.5+x^2+\frac{x}{2}+2.5=3 \)
Пусть \( 3^x=t,t>0 \)
\( 3t^2-4t+1=0 \)
\( t=\frac{1}{3} \)
\( t=1 \)
Обратная замена
\( 3^x=\frac{1}{3} \)
\( 3^x=1 \)
\( x=-1 \)
\( x=0 \)
Под ОДЗ все подходит
б) \( x=-1=log_{2}(0.5) \) – что принадлежит нашему отрезку
\( x=0=log_{2}(1) \) – не принадлежит отрезку
Ответ: а) \( x=-1 \),\( x=0 \) б) \( x=-1 \)