а) Решите уравнение \( ctgx-sinx-\sqrt{3}cosx+\frac{1}{sinx}=0 \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-0.75pi;0,5pi)
Решение
\( sinx≠0 \), \( x≠\pi n \)
\( \frac{cosx}{sinx}-sinx-\sqrt{3}cosx+\frac{1}{sinx}=0 \)
Домножим на \( sinx≠0 \)
\( cosx-sin^2x-\sqrt{3}cosx*sinx+1=0 \)
\( cos^2x+cosx-\sqrt{3}cosx*sinx=0 \)
\( cosx(cosx+1-\sqrt{3}sinx)=0 \)
\( cosx=0 \), \( x=\frac{\pi}{2}+\pi n \)
\( \sqrt{3}sinx-cosx=1 \) – решим это уравнение методом вспомогательного угла
\( \frac{\sqrt{3}}{2}sinx-\frac{1}{2}cosx=\frac{1}{2} \)
И пусть \( cos(z)=\frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( sin(z)=-\frac{1}{2} \) очевидно, что \( z=-\frac{\pi}{6} \)
\( sin(x-\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2} \)
\( x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+2\pi n \)
\( x-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n \)
\( x=\frac{\pi}{3}+2\pi n \)
\( x=\frac{\pi}{2}+\pi n \)
\( x=\pi+2\pi n \)
Не забываем про \( x≠\pi n \)
Значит остается
\( x=\frac{\pi}{3}+2\pi n \)
б) Легко отобрать на окружности, т.к область маленькая, то легко сделать это в уме
\( x=-\frac{\pi}{2} \)
\( x=\frac{\pi}{3} \)
Ответ: а) \( x=\frac{\pi}{3}+2\pi n \),\( x=\frac{\pi}{2}+\pi n \) б) \( x=-\frac{\pi}{2} \),\( x=\frac{\pi}{3} \)