а) Решите уравнение \( \sqrt{sinx-cosx}(ctgx-\sqrt{3})=0 \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [1,5pi;3pi]
Решение
ОДЗ
\( sinx-cosx>=0 \) (1)
\( sinx≠0 \) (2)
1) Воспользуемся стандартным приемом домножим все неравенство на \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)
\( sinx*\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}cosx>=0 \)
\( sinx*cos\frac{\pi}{4}-sin\frac{\pi}{4}cosx>=0 \)
\( sin(x-\frac{\pi}{4})>=0 \)
\( 2\pi n<=x-\frac{\pi}{4}<=\pi+2\pi n \)
\( \frac{\pi}{4}+2\pi n<=x<=\frac{5\pi}{4}+2\pi n \)
(2) \( x≠\pi n \)
Находим корни уравнения
\( sinx-cosx=0 \) – по той же схеме)
\( ctgx=\sqrt{3} \)
\( sin(x-\frac{\pi}{4})=0 \)
\( x=\frac{\pi}{4}+\pi n \)
\( x=\frac{\pi}{6}+\pi n \)
НО не забываем учесть ОДЗ \( \frac{\pi}{4}+2\pi n<=x<=\frac{5\pi}{4}+2\pi n \)
Получаем
\( x=\frac{\pi}{4}+\pi n \)
\( x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n \)
Б)
Ответ: а) \( x=\frac{\pi}{4}+\pi n \), \( x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n \) б) \( x=\frac{9\pi}{4} \)