а) Решите уравнение \( |cosx+cos3x|=-cos2x \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-pi;0,5pi]
Решение
Ограничения \( -cos2x>=0 \) или \( cos^2x-\frac{1}{2}<=0 \)
\( cosx<=-0,5 \) и \( cosx>=0,5 \)
\( |2*cos\frac{3x+x}{2}*cos\frac{3x-x}{2}|=-cos2x \)
Раскрываем модуль
\( 2*cos\frac{3x+x}{2}*cos\frac{3x-x}{2}=-cos2x \)
\( 2*cos\frac{3x+x}{2}*cos\frac{3x-x}{2}=cos2x \)
\( cos2x(2cosx+1)=0 \)
\( cos2x(2cosx-1)=0 \)
\( cos2x=0 \)
\( cosx=-\frac{1}{2} \)
\( cosx=\frac{1}{2} \)
\( 2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \)
\( x=±\frac{2 \pi}{3}+2\pi n \)
\( x=±\frac{ \pi}{3}+2\pi n \)
\( x=\frac{\pi}{4}+\pi n \)
\( x=±\frac{2 \pi}{3}+2\pi n \)
\( x=±\frac{ \pi}{3}+2\pi n \)
С учетом ограничений, можно записать ответ немного короче
\( x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2} \)
\( x=±\frac{ \pi}{3}+\pi n \)
Б)
Ответ: а) \( x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2} \),\( x=±\frac{ \pi}{3}+\pi n \) Б) \( x=-\frac{3\pi}{4},-\frac{2\pi}{3},-\frac{\pi}{3},-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3} \)