а) Решите уравнение \( log_{4}(2^{2x}-\sqrt{3}cosx-sin2x)=x \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [pi;3,5pi]
Решение
Хочется конечно рассмотреть ОДЗ, но давайте сначала сделаем первый шаг к решению уравнения
\( 4^{x}-\sqrt{3}cosx-sin2x=4^x \) и вспомним, что \( 4^x>0 \) значит подлогорифмическое выражение тоже больше нуля и ОДЗ рассматривать не нужно
\( cos(2sinx+\sqrt{3})=0 \)
\( cosx=0 \)
\( sinx=-\frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( x=\frac{\pi}{2}+\pi n \)
\( x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n \)
\( x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n \)
Б) Легко отобрать на тригонометрическом круге
Ответ: а) \( x=\frac{\pi}{2}+\pi n \),\( x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n \),\( x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n \)
б) \( x=\frac{4\pi}{3},\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{3},\frac{5\pi}{2},\frac{10\pi}{3},\frac{7\pi}{2} \)