а) Решите уравнение \( \frac{cos2x*cos8x-cos10x}{cosx+1}=0 \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0;pi]
Решение
Ограничения \( cosx≠-1 \)
\( x≠\pi+2\pi n \)
Решаем само уравнение
\( 0,5(cos6x+cos10x)-cos10x=0 \)
\( 0,5(cos6x-cos10x)=0 \)
\( sin8x*sin2x=0 \)
Значит
\( x=\frac{\pi n}{8} \) и \( x=\frac{\pi n}{2} \)
но не забываем, про \( x≠\pi+2\pi n \) (1 точка), которую нам надо исключить из решений
Изобразим \( x=\frac{\pi n}{2} \) на тригонометрической окружности
1 точку мы должны исключить, другие 3 точки нам нужны. Поэтому решение можно записать в виде \( x=2\pi n \) и \( x=\frac{\pi}{2}+\pi n \)
Далее рассмотрим \( x=\frac{\pi n}{8} \)
Все точки я нумеровать не стал, итак понятно, что идет дальше. Исключаем точку x=pi, и получаем \( x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2} \) – оранжевые точки на окружности
и \( x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4} \) – синие точки на окружности. И еще те же крайние точки \( x=2\pi n \) и \( x=\frac{\pi}{2}+\pi n \).
Б) Пользуясь теми же рисунками легко отобрать корни)
\( x=0,\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{8},\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{8},\frac{3\pi}{4},\frac{7\pi}{8} \)
Ответ: а) \( x=2\pi n \), \( x=\frac{\pi}{2}+\pi n \) \( x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2} \), \( x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4} \)
б) \( x=0,\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{8},\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{8},\frac{3\pi}{4},\frac{7\pi}{8} \)