а) Решите уравнение \( log_{2}sin2x+log_{0,5}cosx=0,5 \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2,5pi;-0,5pi]
Решение
Ограничения:
\( sin2x>0 \) \( (\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n) \) – 1 и 3 четверть
\( cosx>0 \) (1 и 4 четверть на круге \( -\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n \))
В итоге получаем, что \( 2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n \) – 1 четверть
\( log_{2}(2sinxcosx)-log_{2}cosx=0,5 \)
\( log_{2}(2sinx)=log_{2}(\sqrt{2}) \)
\( 2sinx=\sqrt{2} \)
\( sinx=\frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( x=\frac{\pi}{4}+2\pi n \)
\( x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n \)
По ограничениям подходит \( x=\frac{\pi}{4}+2\pi n \)
Б) Легко отобрать корни на тригономтерической окружности
Ответ: а) \( x=\frac{\pi}{4}+2\pi n \)б) \( x=-\frac{7\pi}{4} \)