а) Решите уравнение \( \sqrt{3-tg^2(\frac{3x}{2})}*sinx-cosx=2 \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-17;2]
Решение
\( \sqrt{3-tg^2(\frac{3x}{2})}=\frac{2+cosx}{sinx} \)
В начале рассмотрим область допустимых значений
\( \frac{2+cosx}{sinx}>=0 \)
\( 2+cosx>0 \) при любом x, т.к область значений cosx – [-1;1]
Значит нам достаточно указать \( sinx>0 \), чтобы дробь была неотрицательной:)
Давайте получим формулу тангенса половинного угла
Вы должны обязательно значить формулы понижения степени \( sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-cosx}{2} \) и \( cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+cosx}{2} \)
Поделим одно на другое и получим, что \( tg^2\frac{x}{2}=\frac{1-cosx}{1+cosx} \)
Этим мы и воспользуемся:)
\( \sqrt{3-\frac{1-cos3x}{1+cos3x}}=\frac{2+cosx}{sinx} \)
Возведем все это дело в квадрат
\( \frac{2+4cos3x}{1+cos3x}=\frac{(2+cosx)^2}{sin^2x} \)
Теперь вспомним формулу \( cos3x=4cos^3x-3cosx \) (она тоже легко выводится, достаточно рассмотреть \( cos(\frac{3x}{2}*2) \) и применить известную формулу косинуса двойного угла)
И сделаем замену \( cosx=t \), где \( -1<=t<=1 \)
\( \frac{2+4(4t^3-3t)}{1+4t^3-3t}=\frac{(t+2)^2}{1-t^2} \)
Перемножаем крест на крест, раскрываем скобки и преобразовываем. Должно получится следующее выражение:
\( 20t^5+16t^4-15t^3-9t^2+4t+2=0 \)
Это уравнение нужно решить.
Как обычно подбираем корни по т Безу. Корнями могут быть \( t=±\frac{1}{20},±\frac{1}{10},±\frac{1}{5},±\frac{2}{5},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1 \)
начнем с самых легких
\( t=1 \) – не подходит
\( t=-1 \) – подходит
Значит делим столбиком весь многочлен на \( (t+1) \)
Я тоже приложу свое деление, мало ли кто забыл как это делать
В итоге получаем \( (t+1)(20t^4-4t^3-11t^2+2t+2)=0 \)
Рассмотрим многочлен \( 20t^4-4t^3-11t^2+2t+2 \) и ищем его корни по той же схеме, кстати, остаются почти те же самые корни
Если будем проверять \( t=±1 \) – не подходит
\( t=\frac{1}{2} \) – не подходит
\( t=-\frac{1}{2} \) -подходит
И делим стобиком:) Должно выйти в конечном счете \( (t+1)(2t+1)(10t^3-7t^2-2t+2)=0 \)
Есть конечно же другой способ – \( 20t^4-4t^3-11t^2+2t+2=20t^4+10t^3-14t^3-7t^2-4t^2-2t+4t+2=10t^3(2t+1)-7t^2(2t+1)-2t(2t+1)+2(2t+1) \)
\( (2t+1)(10t^3-7t^2-2t+2) \)
Далее рассмотрим многочлен \( 10t^3-7t^2-2t+2 \) и ищем его корни любым из указанных способов. (делаем самостоятельно, если не получилось, то спрашиваем в комменты, я отвечу)
Должно получится \( 10t^3-7t^2-2t+2=(2t+1)(5t^2-6t+2) \)
В итоге получаем \( (t+1)(2t+1)^2(5t^2-6t+2)=0 \)
Значит
\( t=-1 \)
\( t=-0,5 \)
\( 5t^2-6t+2=0 \) D<0 нет корней
\( cosx=-1 \)
\( cosx=-0,5 \)
\( x=\pi+2\pi n \)
\( x=±\frac{2\pi}{3}+2\pi n \)
Не забываем про sinx>0 – это 1,2 четверть на тригонометрической окружности, невключая точки\( x=2\pi n \) и \( x=\pi+2\pi n \). С учетом этого получаем, что
\( x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n \)
Б) Здесь конечно же легче всего решать через двойное неравенство
\( -17<=\frac{2\pi}{3}+2\pi n<=2 \)
Примем для удобства \( \pi=3 \)
\( -\frac{19}{6}<=n<=\frac{6-2*3}{3} \)
Но конечно же число пи немного больше чем 3) Поэтому число n будет ограничено сверху (справа) числом, меньшим нуля
Значит \( n=-3,-2,-1 \)
\( x=-\frac{16\pi}{3},-\frac{10\pi}{3},-\frac{4\pi}{3} \)
Ответ: а) \( x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n \) б) \( x=-\frac{16\pi}{3},-\frac{10\pi}{3},-\frac{4\pi}{3} \)