а) Решите уравнение \( sinx+cosx+cos2x=0,5sin4x \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-0,5pi;0,5pi]
Решение
\( sinx+cosx=sin2x*cos2x-cos2x \)
\( sinx+cosx=(cos^2x-sin^2x)(sin2x-1) \)
\( sinx+cosx=(cosx-sinx)(sinx+cosx)(sin2x-1) \)
\( (sinx+cosx)(1-(cosx-sinx)(sin2x-1))=0 \)
1) \( sinx+cosx=0 \)
\( \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}sinx+\frac{1}{\sqrt{2}}cosx)=0 \)
\( cos\frac{\pi}{4}sinx+sin\frac{\pi}{4}cosx=0 \)
\( sin(x+\frac{\pi}{4})=0 \)
\( x+\frac{\pi}{4}=\pi n \)
\( x=-\frac{\pi}{4}+\pi n \)
2) \( (cosx-sinx)(sin2x-1)=1 \)
Рассмотрим \( (sinx-cosx)^2=sin^2x-2sinx*cosx+cos^2x=1-sin2x=-(sin2x-1) \)
Тогда получаем, что \( (cosx-sinx)(sinx-cosx)^2=-1 \) или \( (cosx-sinx)^3=-1 \)
\( cosx-sinx=-1 \) – это уравнение решается тем же способом, что и первое уравнение
\( \sqrt{2}(sin\frac{\pi}{4}cosx-cos\frac{\pi}{4}sinx)=-1 \)
\( sin(\frac{\pi}{4}-x)=-\frac{1}{\sqrt{2}} \)
\( sin(x-\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}} \)
\( x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \)
\( x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n \)
\( x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \)
\( x=\pi+2\pi n \)
Б) Легче всего отобрать на тригонометрической окружности
Ответ: а) \( x=-\frac{\pi}{4}+\pi n \), \( x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \), \( x=\pi +2\pi n \) Б) \( x=-\frac{\pi }{4},\frac{\pi}{2} \)