а) Решите уравнение \( 2^{-cos2x}+2\sqrt{2}=5*2^{sin^2x-\frac{3}{4}} \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0,5pi;2pi]
Решение
\( 2^{2sin^2x-1}+2\sqrt{2}=5*2^{sin^2x-\frac{3}{4}} \)
Пусть \( 2^{sin^2x}=t,t>0 \)
\( 0,5t^2+2\sqrt{2}=5*t*2^{-\frac{3}{4}} \)
\( t=2^{\frac{1}{4}} \)
\( t=2^{\frac{9}{4}} \)
Обратная замена
\( 2^{sin^2x}=2^{\frac{1}{4}} \), откуда \( sin^2x={\frac{1}{4}} \)
\( 2^{sin^2x}=2^{\frac{9}{4}} \), откуда \( sin^2x={\frac{9}{4}} \)
\( sinx=±0,5 \)
\( sinx=±\frac{3}{2} \) – нет решений
\( x=±\frac{\pi}{6}+2\pi n \)
\( x=±\frac{5\pi}{6}+2\pi n \)
Б) Легко отобрать на тригонометрической окружности
\( x=\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6} \)
Ответ: а) \( x=\frac{\pi}{6}+\pi n \),\( x=\frac{5\pi}{6}+\pi n \) б) \( x=\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6} \)