а) Решите уравнение \( (cos2x+3sinx-2)*\sqrt{cosx-sinx}=0 \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0;pi]
Решение
Ограничения
\( tgx<=1 \) и \( cosx≠0 \), \( -\frac{\pi}{2}+\pi n<x<=\frac{\pi}{4}+\pi n \), \( x≠\frac{\pi}{2}+\pi n \)
Ищем корни
\( 1-2sin^2x+3sinx-2=0 \) (1)
\( tgx=1 \) (2)
(1) \( 2sin^2x-3sinx+1=0 \)
\( sinx=\frac{1}{2} \)
\( sinx=1 \)
\( x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \)
\( x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n \)
\( x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \)
(2) \( x=\frac{\pi}{4}+\pi n \)
Вспоминаем про ограничения
\( x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \)
\( x=\frac{\pi}{4}+\pi n \)
Б) легко отобрать корни на тригонометрической окружности
\( x=\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4} \)
Ответ: а) \( x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \),\( x=\frac{\pi}{4}+\pi n \), б) \( x=\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4}, \)