а) Решите уравнение \( 4^{sinx-\frac{1}{4}}-\frac{1}{2+\sqrt{2}}2^{sinx}-1=0 \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0,5;2]
Решение
\( \frac{4^{sinx}}{\sqrt{2}}- \frac{1}{2+\sqrt{2}}2^{sinx}-1=0 \)
Пусть \( 2^{sinx}=t \) t>0
Решаем квадратное уравнение\( \frac{\sqrt{2}t^2}{2}- \frac{1}{2+\sqrt{2}}t-1=0 \)
Для удобства можно домножить на \( \frac{1}{2(2+\sqrt{2})} \)
\( (2\sqrt{2}+2)x^2-2x-4-2\sqrt{2}=0 \)
\( t1,2=\frac{2±\sqrt{68+48\sqrt{2}}}{2(2\sqrt{2}+2)} \)
\( t1,2=\frac{2±\sqrt{(6+4\sqrt{2})^2}}{2(2\sqrt{2}+2)}=\frac{2±(6+4\sqrt{2})}{2(2\sqrt{2}+2)} \)
\( t=-1 \) – не подходит, т.к t>0
\( t=\sqrt{2} \)
\( 2^{sinx}=\sqrt{2} \)
\( sinx=0,5 \)
\( x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n \)
или можно разбить на две серии \( x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \) и \( x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n \)
б) \( 0,5<=\frac{\pi}{6}+2\pi n<=2 \) откуда \( n=0 \), т.к n-целое
\( 0,5<=\frac{5\pi}{6}+2\pi n<=2 \) – нет целых n
Ответ: а) \( x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n \) б) \( x=\frac{\pi}{6} \)