а) Решите уравнение \( \frac{4sin(\frac{3\pi}{2}+x)(cosx-1)+3}{\sqrt{sinx}}=0 \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [pi;4pi]
Решение
Ограничения \( sinx>0 \) – 1 и 2 четверть
\( 2 \pi n<x<\pi +2 \pi n \)
Рассмотрим числитель
\( -4cosx(cosx-1)3=0 \)
\( 4cos^2x-4cosx-3=0 \)
Делаем замену на \( cosx=t \), где \( -1<=t<=1 \) и решаем квадратное уравнение
\( t=-0,5 \)
\( t=1,5 \) – не подходит
\( cosx=-0,5 \)
\( x=±\frac{2 \pi }{3}+2\pi n \)
По ограничениям подходит только \( x=\frac{2 \pi }{3}+2\pi n \)
Б) легко отобрать на тригонометрической окружности или с помощью двойного неравенства
\( x=\frac{2 \pi}{3}+2\pi=\frac{8\pi }{3} \)
Ответ: а) \( x=\frac{2 \pi }{3}+2\pi n \) б) \( x=\frac{8\pi }{3} \)