а) Решите уравнение \( \sqrt{2sin^2(\frac{x}{2}(1-cosx))}=-sin(-x)-5cosx \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-pi/3;2pi]
Решение
\( \sqrt{2*\frac{1-cosx}{2}(1-cosx)}=sinx-5cosx \)
\( |1-cosx|=sinx-5cosx \)
Так как множество значений косинуса и синуса [-1;1], то модуль можно раскрыть однозначно со знаком плюс, т.к выражение не может быть меньше нуля
\( 1-cosx=sinx-5cosx \)
\( sinx-4cosx=1 \)
Стандартное уравнение на метод вспомогательного угла, делим все на \( \sqrt{1+4^2}=\sqrt{17} \)
Пусть \( cosφ=\frac{1}{\sqrt{17}} \) и \( sinφ=\frac{4}{\sqrt{17}} \)
\( cosφsinx-sinφ*cosx=cosφ \)
\( sin(φ-x)=\frac{1}{\sqrt{17}}=cosφ \)
\( cos(φ+\frac{\pi}{2}-x)=cosφ \)
\( φ+\frac{\pi}{2}-x=±arccos(cosφ)+2\pi n \)
\( φ+\frac{\pi}{2}-x=±φ+2\pi n \)
\( x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \)
\( x=2φ+\frac{\pi}{2}+2\pi n \)
Б) Отберем с помощью двойного неравенства
\( -\frac{\pi}{3}≤2φ+\frac{\pi}{2}+2\pi n≤2 \pi n \) делим на pi преобразовываем
\( -\frac{5}{12}-\frac{φ}{\pi}≤n≤\frac{3}{4}-\frac{φ}{\pi} \), т.к \( ф=arccos\frac{1}{\sqrt{17}} \), то вспомним определение арксосинуса: Аркосинус числа \( b \) называют такое число из промежутка [0;pi], косинус которого равен \( b \)
\( -\frac{5}{12}-[0;1]≤n≤\frac{3}{4}-[0;1] \)
\( [-\frac{5}{12};\frac{7}{12}]≤n≤[\frac{3}{4};\frac{1}{4}] \)
Тогда \( n=0 \)
\( x=2φ+\frac{\pi}{2} \)
Вторую серию корней отбираем самостоятельно:) получим \( x=\frac{\pi}{2} \)
Ответ: а) \( x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \),\( x=2arccos\frac{1}{\sqrt{17}}+\frac{\pi}{2}+2\pi n \) б) \( x=\frac{\pi}{2},2arccos\frac{1}{\sqrt{17}}+\frac{\pi}{2} \)