Дано уравнение \( sin2x+\sqrt{3}(cosx-sinx)=1,5 \)
А) Решите уравнение.
Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-3,5pi;-2pi]
Такие уравнение обычно решаются заменой \( t=cosx-sinx \)
Возведем все в квадрат и получим \( sin2x=1-t^2 \)
Получим уравнение
\( t^2-\sqrt{3}t+0,5=0 \)
\( t=\frac{\sqrt{3}+1}{2} \) и \( t=\frac{\sqrt{3}-1}{2} \)
Обратная замена
\( cosx-sinx=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}=cos(-\frac{\pi}{3})-sin(-\frac{\pi}{3})=cos(-\frac{\pi}{6})-sin(-\frac{\pi}{6}) \)
Значит \( x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n \) и \( x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n \)
\( cosx-sinx=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}=cos(\frac{\pi}{6})-sin(\frac{\pi}{6})=cos(-\frac{2\pi }{3})-sin(\frac{-2\pi}{3}) \)
Значит \( x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \) и \( x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n \)
б) Корни очень легко отбираются на тригонометрической окружности
\( x=\frac{-7\pi}{3},-\frac{8\pi}{3},\frac{-13\pi}{6} \)
Ответ: а) \( x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n \) , \( x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n \), \( x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \) , \( x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n \) Б) \( x=\frac{-7\pi}{3},-\frac{8\pi}{3},\frac{-13\pi}{6} \)