а) Решите уравнение \( 256^{sinx*cosx}-18*16^{sinx*cosx}+32=0 \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [4,5pi;6pi]
Решение
Пусть \( 16^{sinx*cosx}=t \), \( t>0 \)
\( t^2-18t+32=0 \)
\( t=2 \)
\( t=16 \)
Обратная замена
\( 16^{sinx*cosx}=2 \)
\( 16^{sinx*cosx}=16 \)
Значит
\( sinx*cosx=0,25 \)
\( sinx*cosx=1 \)
Сделаем искусственно 2, чтобы воспользоваться формулой двойного угла
\( 2sinx*cosx=0,5 \)
\( 2sinx*cosx=2 \)
Значит
\( sin2x=0,5 \)
\( sin2x=2 \) – нет решений
\( 2x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \)
\( 2x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n \)
Значит
\( x=\frac{\pi}{12}+\pi n \)
\( x=\frac{5\pi}{12}+\pi n \)
Б) Можно отобрать с помощью круга, но чтобы “наверняка” решим двойным неравенством.
1) \( \frac{9\pi}{2}≤\frac{5\pi}{12}+\pi n ≤6 \pi \) делим на pi, делаем преобразования
\( 4 \frac{1}{12}≤n≤5 \frac{7}{12} \) , так как n – целое, то \( n=5 \)
\( x=\frac{65 \pi}{12} \)
2) \( \frac{9\pi}{2}≤\frac{\pi}{12}+\pi n ≤6 \pi \)
\( 4 \frac{5}{12}≤n≤5 \frac{11}{12} \)
\( n=5 \)
\( x=\frac{61 \pi}{12} \)
Ответ: а) \( x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2} \) б) \( x=\frac{61 \pi}{12}, \frac{65 \pi}{12} \)