а) Решите уравнение \( \frac{(tgx+\sqrt{3})*log_{13}(2sin^2x)}{log_{47}(\sqrt{2}cosx)}=0 \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \( (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}) \)
Решение
Ограничения:
\( x≠\pi n \) (это из \( 2sin^2x>0 \))
\( cosx>0 \)
\( cosx≠\frac{\sqrt{2}}{2} \)
решаем само уравнение
\( x=-\frac{\pi}{3}+\pi n \)
\( sin^2x=\frac{1}{2} \)
значит получаем
\( x=-\frac{\pi}{3}+\pi n \)
\( x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n \) – не подходит под ограничения
\( x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n \) – не подходят под ограничения
В итоге остается \( x=-\frac{\pi}{3}+\pi n \)
б) Легко отобрать на тригонометрической окружности, и будет только один корень на \( (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}) \), что в принципе очевидно
\( x=-\frac{\pi}{3} \)
Ответ: а) \( x=-\frac{\pi}{3}+\pi n \) б) \( x=-\frac{\pi}{3} \)