а) Решите уравнение \( 4^{cos2x}-0,5*16^{sin^2x}=1 \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0;1,5pi]
Решение
\( 4^{1-2sin^2x}-0,5*4^{2sin^2x}=1 \)
Пусть \( 4^{2sin^2x}=t,t>0 \)
\( \frac{4}{t}-0,5t=1 \)
\( 4-0,5t^2=t \)
\( t=-4 \) – не подходит по нашему ограничению
\( t=2 \)
Обратная замена
\( 4^{2sin^2x}=2 \)
\( 2^{4sin^2x}=2 \)
\( sinx=±0,5 \)
\( x=±\frac{\pi}{6}+2 \pi n \)
\( x=±\frac{5 \pi}{6}+2 \pi n \)
Б) Отобрать корни легче всего на окружности
Ответ: а) \( x=±\frac{\pi}{6}+2 \pi n \), \( x=±\frac{5 \pi}{6}+2 \pi n \) б) \( x= \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6} \)