а) Решите уравнение cos9x-cos7x=√2sinx
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-1,5pi,pi]
Решение
\( -2sin8x*sinx=\sqrt{2}sinx \)
\( sinx(\sqrt{2}+2sin8x)=0 \)
\( sinx=0 \)
\( sin8x=-\frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( x=\pi n \)
\( x=(-1)^{n+1} \frac{\pi}{32}+\frac{\pi n}{8} \)
Б) Первая серия корней легко отбирается на окружности
\( x=-\pi,pi \)
А следующие две легче отобрать с помощью двойного неравенства
Отберем вторую серию
\( -1,5 \pi ≤ -\frac{\pi}{32}+\frac{\pi}{4}n≤ \pi \)
Делим на pi и преобразовываем
\( -5 \frac{7}{8}≤ n≤ 4\frac{1}{8} \)
так как \( n \) – целые, то \( n=-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4 \)
и подставляем в уравнение получается много корней:)
Отберем третью серию
\( -1,5 \pi ≤ -\frac{5\pi}{32}+\frac{\pi}{4}n≤ \pi \)
Делим на pi и преобразовываем
\( n=-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4 \)
И подставляем числа вместо n
Ответ: а) \( x=(-1)^{n+1} \frac{\pi}{32}+\frac{\pi n}{8} \) , \( x=\pi n \)
б) \( x=-\pi,-\frac{43 \pi}{32},-\frac{41 \pi}{32},-\frac{35 \pi}{32},-\frac{33 \pi}{32},-\frac{27 \pi}{32},-\frac{25 \pi}{32},-\frac{19 \pi}{32},-\frac{17 \pi}{32}, -\frac{11 \pi}{32},-\frac{9 \pi}{32},-\frac{3 \pi}{32}, -\frac{ \pi}{32},0, \frac{5 \pi}{32}, \frac{7 \pi}{32}, \frac{13 \pi}{32}, \frac{15 \pi}{32}, \frac{21 \pi}{32}, \frac{23 \pi}{32}, \frac{29 \pi}{32}, \frac{31 \pi}{32}, \pi \)