а) Решите уравнение \( sin^4x+cos^4x=0,625 \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \( [-0,75 \pi;-0,25 \pi] \)
Решение
\( sin^2x+cos^2x=1 \) – это вы все знаете:)
Возведем обе части в квадрат
\( (sin^2x+cos^2x)^2=1 \)
\( sin^4x+2sin^2x*cos^2x+cos^4x=1 \)
Исходя из условия получаем, что
\( 2sin^2x*cos^2x=0,375 \)
\( 0,5*(2sinx*cosx)^2=0,375 \)
\( sin^22x=\frac{3}{4} \)
\( sin2x=\frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( sin2x=-\frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( 2x=\frac{\pi}{3}+2\pi n \)
\( 2x=\frac{2 \pi}{3}+2 \pi n \)
\( 2x=-\frac{\pi}{3}+2 \pi n \)
\( 2x=-\frac{2 \pi}{3}+2 \pi n \)
\( x=\frac{\pi}{6}+\pi n \)
\( x=\frac{ \pi}{3}+ \pi n \)
\( x=-\frac{\pi}{6}+ \pi n \)
\( x=-\frac{ \pi}{3}+ \pi n \)
Получаем, \( x=±\frac{\pi}{6}+\pi n \) и \( x=±\frac{\pi}{3}+\pi n \)
Б) легко отобрать с помощью окружности
\( x=-\frac{2 \pi}{3},-\frac{\pi}{3} \)
Ответ: а) \( x=±\frac{\pi}{6}+\pi n \) и \( x=±\frac{\pi}{3}+\pi n \) б) \( x=-\frac{2 \pi}{3},-\frac{\pi}{3} \)