а) Решите уравнение \( \sqrt{1+cos4x}sinx=2sin\frac{\pi}{4} \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3,5π;-π]
Решение
\( \sqrt{1+cos4x}=\frac{\sqrt{2}}{sinx} \)
ОДЗ:
\( \frac{\sqrt{2}}{sinx}>0 \) или \( sinx>0 \)
Решаем само уравнение, возведем все в квадрат
\( 1+cos4x=\frac{2}{sin^2x} \)
\( sin^2x+sin^2x*cos4x=2 \)
так как, \( sin^2x∈[0;1] \), \( cos4x∈[-1;1] \)
То получаем, что
\( sin^2x=1 \)
\( cos4x=1 \)
\( x=±\frac{\pi}{2}+\pi n \)
\( x=\frac{\pi n}{2} \)
Вспоминаем про наше ограничение \( sinx>0 \)
Значит \( x=\frac{\pi}{2}+2 \pi n \)
Б) Легко отобрать с помощью окружности
\( x=-\frac{7\pi}{2},-\frac{3\pi}{2} \)
Ответ: а) \( x=\frac{\pi}{2}+2 \pi n \), Б) \( x=-\frac{7\pi}{2},-\frac{3\pi}{2} \)