а) Решите уравнение \( \sqrt{1,5+cos^2x}=sinx-cosx \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \( [-0,5π;π] \)
Решение
ОДЗ:
\( sinx-cosx≥0 \)
Здесь конечно мы будем делить на \( cosx≠0 \), но мы не знаем какого он знака, поэтому не можем просто так разделить, так же рассмотрим случай, когда \( cosx=0 \)
Рассмотрим:
1) Пусть \( cosx>0 \), тогда \( tgx≥1 \)
\( \frac{\pi}{4}+2 \pi n ≤x<\frac{\pi}{2}+2 \pi n \)
2) Пусть \( cosx<0 \), тогда \( tgx≤1 \)
\( \frac{\pi}{2}+2 \pi n<x≤\frac{5 \pi}{4}+2 \pi n \)
3) Пусть \( cosx=0 \), тогда \( sinx≥0 \)
\( x=\frac{\pi}{2}+2 \pi n \)
В итоге получаем: \( \frac{\pi}{4}+2 \pi n≤x≤\frac{5 \pi}{4}+2 \pi n \)
Теперь возведем обе части в квадрат
\( 1,5+cos^2x=sin^2x-2sinx*cosx+cos^2x \)
\( sin^2x-2sinx*cosx-1,5(sin^2x+cos^2x)=0 \)
\( -0,5sin^2x-2sinx*cosx-1,5cos^2x=0 \) поделим на \( cos^2x≠0 \)
\( -0,5tg^2x-2tgx-1,5=0 \) – решаем уравнение и получаем
\( tgx=-1 \)
\( tgx=-3 \)
\( x=-\frac{\pi}{4}+\pi n \)
\( x=- arctg3+\pi n \)
Пересекаем с ОДЗ
\( x=\frac{3 \pi}{4}+2 \pi n \)
\( x=\pi – arctg3 +2 \pi n \)
Б) Отбирать проще всего с помощью тригонометрической окружности
\( x=\frac{3 \pi }{4},\pi-arctg3 \)
Ответ: а)
\( x=\frac{3 \pi}{4}+2 \pi n \)\( x=\pi – arctg3 +2 \pi n \) , б) \( x=\frac{3 \pi }{4},\pi-arctg3 \)