а) Решите уравнение \( log_{sin(-x)}(sin\frac{x}{2}+sin\frac{3x}{2})=1 \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2π;2π]
Решение
ОДЗ:
\( sinx<0 \) \( sinx≠-1 \),\( 2sinx*cos(x/2)>0 \)
Третье неравенство нам записывать нет смысла, так как подлогарифмическое выражение равно положительному числу.
\( sinx<0 \) и \( sinx≠-1 \)
Решаем само уравнение
\( 2sinx*cosx(x/2)=-sinx \)
\( sinx(2cos(x/2)+1)=0 \)
\( sinx=0 \) – не подходит под ОДЗ
\( cos(x/2)=-0,5 \)
\( x=±\frac{4π}{3}+4πn \) нам подходит только одна серия корней
\( x=\frac{4π}{3}+4πn \)
Б) Отберем с помощью двойного неравенства
\( -2π≤\frac{4}{3}π+4πn≤2π \)
получаем, что \( n=0 \)
\( x=\frac{4}{3}π \)
Ответ: а) \( x=\frac{4π}{3}+4πn \) б) \( x=\frac{4}{3}π \)
Смотреть видео решение