а) Решите уравнение \( 2|sinx|+log_{tgx}(-\frac{|cosx|}{sinx})=0 \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-1,5π;0]
Решение
ОДЗ:
\( sinx<0 \) (так как модуль косинуса – всегда положительная величина)
\( cosx<0 \), чтобы основание логарифма было неотрицательным.
\( \frac{sinx}{cosx}≠1 \) , \( sinx≠cosx \), \( tgx≠1 \), \( x≠\frac{π}{4}+2πn \) и \( x≠\frac{5π}{4}+2πn \)
Теперь модуль косинуса и синуса раскроется со знаком минус.
\( -2sinx+log_{\frac{sinx}{cosx}}(\frac{cosx}{sinx})=0 \)
\( -2sinx-log_{\frac{sinx}{cosx}}(\frac{sinx}{cosx})=0 \)
\( -2sinx-1=0 \)
\( sinx=-0,5 \)
\( x=-\frac{π}{6}+2πn \)
\( x=-\frac{5π}{6}+2n \)
Но под ОДЗ подходит лишь 1 корень
\( x=-\frac{π}{6}+2πn \)
Б) Тут корень в уме отбирается.
\( x=-\frac{5π}{6} \)
Ответ: а) \( x=-\frac{π}{6}+2πn \) б) \( x=-\frac{5π}{6} \)