13. Дано уравнение \( 4^{cos^2(x+\frac{π}{4})}=2*2^{cosx} \)
А) Решите уравнение.
Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [4π;5.5π]
Решение
\( 2^{2cos^2(x+\frac{π}{4})}=2^{1+cosx} \)
\( 2cos^2(x+\frac{π}{4})=1+cosx \)
Используем формулу понижения степени
\( 1+cos(2x+\frac{π}{2})=1+cosx \)
\( sin2x+cosx=0 \)
\( 2sinx*cosx+cosx=0 \)
\( cosx(2sinx+1)=0 \)
\( cosx=0 \)
\( sinx=-0,5 \)
\( x=\frac{π}{2}+πn \)
\( x=-\frac{π}{6}+2πn \)
\( x=-\frac{5π}{6}+2πn \)
Б) Отберем корни на единичной окружности
\( x=\frac{9π}{2} \)
\( x=5π+\frac{π}{6}=\frac{31π}{6} \)
\( x=5,5π \)
Ответ: а)\( x=\frac{π}{2}+πn \)\( x=-\frac{π}{6}+2πn \)\( x=-\frac{5π}{6}+2πn \) б) \( x= \frac{9π}{2},\frac{31π}{6},\frac{11π}{2} \)