а) Решите уравнение \( cos^2(πx)*log_{3}(16x-7-4x^2)=3cos(2πx)+3sin^2(πx) \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0,5π;π]
Решение
ОДЗ:
\( 16x-7-4x^2>0 \)
\( 0,5<x<3,5 \)
\( cos^2(πx)*log_{3}(16x-7-4x^2)=3cos(2πx)-3sin^2(πx) \)
\( cos^2(πx)*log_{3}(16x-7-4x^2)=3cos^2(πx)-3sin^2(πx)+3sin^2(πx) \)
\( cos^2(πx)*log_{3}(16x-7-4x^2)=3cos^2(πx) \)
\( cos^2(πx)*(log_{3}(16x-7-4x^2)-3)=0 \)
Получаем, что
\( cos^2(πx)=0 \), то есть \( cos(πx)=0 \), \( πx=\frac{π}{2}+πn \), \( x=\frac{1}{2}+n \)
Но есть ОДЗ, поэтому получаем, что \( x=1,5 \), \( x=2,5 \)
\( log_{3}(16x-7-4x^2)=3 \)
\( 16x-7-4x^2=27 \)
\( 4x^2-16x+20=0 \)
\( x^2-4x+5=0 \)
Получаем, что это выражение не определно на множестве действительных чисел. Нет решений.
Б) Представим \( π≈3 \), получаем, что подходит только 1 корень – \( x=2.5 \)
Ответ: а) \( x=1,5 \), \( x=2,5 \) б) \( x=2.5 \)