13. а) Решите уравнение \( sinx=cos^2x+0,5log_{\sqrt{2}}(2) \)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-0,5π;π]
Решение
Разберемся с логарифмом
\( 0,5log_{\sqrt{2}}(\frac{1}{0,5})=log_{2}2=1 \)
\( sinx=cos^2x+1 \)
\( sinx=1-sin^2x+1 \)
\( sin^2x+sinx-2=0 \)
Тут легко разложить на множители
\( (sinx-1)(sinx+2)=0 \)
\( sinx=1 \)
\( sinx=-2 \) – нет решений
\( x=\frac{π}{2}+2πn \)
Б) Отберем корни на окружности
\( x=\frac{π}{2} \)
Ответ: А) \( x=\frac{π}{2}+2πn \) n-целые числа, Б) \( x=\frac{π}{2} \)