а) Решите уравнение: \( 4(sin4x-sin2x)=sinx(4cos^23x+3) \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \( [0; 1.5π] \)
Решение
Преобразуем выражение
\( 4*(2cos(\frac{4x+2x}{2}*sin(\frac{4x-2x}{2}))=sinx(4cos^23x+3) \)
\( 8cos3x*sinx=sinx(4cos^23x+3) \)
\( sinx(8cos3x-4cos^23x-3)=0 \)
\( sinx=0 \) \( x=πn \)
\( 4cos^23x-8cos3x+3=0 \) сделаем замену \( cos3x=t \), -1≤t≤1
\( 4t^2-8t+3=0 \)
\( t=0.5 \)
\( t=1.5 \) – не имеет решений
Делаем обратную замену
\( cos3x=0.5 \)
\( 3x=±\frac{π}{3}+2πn \)
\( x=±\frac{π}{9}+\frac{2π}{3} \)
б) Отберем корни
1) \( 0≤\frac{π}{9}+\frac{2π}{3}n≤\frac{3π}{2} \)
делим на пи и выражаем n
\( -\frac{1}{6}≤n≤\frac{25}{12} \)
\( n=0,1,2 \)
\( x=\frac{π}{9} \)
\( x=\frac{π}{9}+\frac{2π}{3}=\frac{7π}{9} \)
\( x=\frac{π}{9}+\frac{4π}{3}=\frac{13π}{9} \)
2) \( 0≤-\frac{π}{9}+\frac{2π}{3}≤\frac{3π}{2} \)
\( \frac{1}{6}≤n≤\frac{29}{12} \)
\( n=1,2 \)
\( x=-\frac{π}{9}+\frac{2π}{3}=\frac{5π}{9} \)
\( x=-\frac{π}{9}+\frac{4π}{3}=\frac{11π}{9} \)
Ответ: а) \( x=πn \) \( x=±\frac{π}{9}+\frac{2π}{3} \), б) \( x=0;\frac{π}{9};\frac{5π}{9};\frac{7π}{9};π;\frac{11π}{9};\frac{13π}{9} \)