а) Решите уравнение \( (cosx-sinx)^2+\sqrt{2}sin(\frac{3\pi}{4}-2x)+\sqrt{3}cosx=0 \)
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [\( -\frac{4\pi}{3};-\frac{2 \pi}{3} \)]
Решение
\( (cosx-sinx)^2=cos^2x-2sinxcosx+sin^2x=1-sin2x \)
\( sin(\frac{3\pi}{4}-2x)=sin\frac{3\pi}{4}*cos2x-sin2x*cos\frac{3\pi}{4}= \)
\( =\frac{\sqrt{2}}{2}cos2x+\frac{\sqrt{2}}{2}sin2x \)
Теперь преобразованное уравнение будет выглядеть так
\( cos2x+\sqrt{3}cosx+1=0 \)
\( 2cos^2x-1+\sqrt{3}cosx+1=0 \)
\( cosx(2cosx+\sqrt{3})=0 \)
\( cosx=0 \)
\( cosx=-\frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( x=\frac{\pi}{2}+\pi n \)
\( x=±\frac{5\pi}{6}+2\pi n \)
Б)
\( x=-\frac{5\pi}{6} \)
\( x=-\pi-x=-\frac{\pi}{6}=-\frac{7\pi}{6} \)
Ответ: а) \( x=\frac{\pi}{2}+\pi n \),\( x=±\frac{5\pi}{6}+2\pi n \) б) \( x=-\frac{7\pi}{6},-\frac{5\pi}{6} \)