а) Решите уравнение \( \sqrt{3}sin^22x-2sin4x+\sqrt{3}cos^22x=0 \)
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-1;1]
Решение
\( \sqrt{3}(sin^22x+cos^22x)-2sin4x=0 \)
\( \sqrt{3}-2sin4x=0 \)
\( sin4x=\frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( 4x=\frac{\pi}{3}+2\pi n \)
\( 4x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n \)
\( x=\frac{\pi}{12}+\pi n/2 \)
\( x=\frac{\pi}{6}+\pi n/2 \)
Б) Удобно взять \( \pi=3 \) и примерно оценить корни
\( n=-1 \)
\( x=\frac{\pi}{12}-\frac{\pi}{2}<-1 \)
\( x=\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}<-1 \)
Значит они нам не подходят
\( n=0 \)
\( x=\frac{\pi}{12} \)
\( x=\frac{\pi}{6}\)
Оба корня попадают в отрезок
\( n=1 \)
\( x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{2}>1 \)
\( x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}>1 \)
Оба корня не попадают в отрезок. Дальнейшее рассмотрение смысла не имеет
Ответ: а)\( x=\frac{\pi}{12}+\pi n/2 \),\( x=\frac{\pi}{6}+\pi n/2 \) б) \( x=\frac{\pi}{12},\frac{\pi}{6} \)