Найдите наименьшее значение функции \( y=log_{0,5}(4^x-2^{x+2}+8) \) на отрезке [-1;2]
Решение
Пусть \( 2^x=t,t>0 \)
Не забываем про \( -1<=x<=2 \) при нашей замене \( 0,5<=t<=4 \)
\( y=-log_{2}(t^2-4t+8) \)
\( t^2-4t+8 \) – парабола, ветви вверх, наименьшее значение будет в вершине, \( t_{0}=\frac{4}{2}=2 \)
Но нам же нужно получить наибольшее значение, т.к \( y=-log_{2}(..) \) – убывающая ф-ция, значит парабола должна принимать наиб значение
Значит нужно подставлять границы и считать там значение нашей ф-ции
\( y(0,5)=-log_{2}\frac{25}{4} \)
\( y(4)=-log_{2}8=-3 \) – это и есть наим значение
Ответ: -3