Найдите наименьшее значение функции \( f(x)=(2-cos^2x-cos^4x)(1+ctg^2x) \)
Решение
\( 1+ctg^2x=\frac{1}{sin^2x} \) – по основному тригонометрическому тождеству
\( f(x)=-\frac{cos^4x+cos^2x-2}{sin^2x}=-\frac{(cos^2x+2)(cos^2x-1)}{1-cos^2x}=cos^2x+2 \)
\( f'(x)=0 \)
\( -2cosxsinx=0 \)
sinx – не может быть равен нулю, т.к в ф-ции присутствует ctgx
\( cosx=0 \) , \( x=\frac{\pi}{2}+\pi n \)- точки экстремума
Следовательно наименьшее значение равно 2
Ответ: 2