Найдите наибольшее значение функции \( y=x(\sqrt{1-9x^2}+3\sqrt{4-x^2}) \)
Решение
\( y’=0 \)
\( \sqrt{1-9x^2}+3\sqrt{4-x^2}+x(0,5\frac{-18x}{\sqrt{1-9x^2}}+3*0,5\frac{-2x}{\sqrt{4-x^2}})=0 \)
Домножим все на общий знаменатель и раскроем скобки
\( (1-9x^2)\sqrt{4-x^2}+3(4-x^2)\sqrt{1-9x^2}-9x^2\sqrt{4-x^2}-3x^2\sqrt{1-9x^2}=0 \)
\( \sqrt{4-x^2}(1-9x^2-9x^2)+\sqrt{1-9x^2}(3(4-x^2)-3x^2)=0 \)
\( \sqrt{4-x^2}(1-18x^2)=-\sqrt{1-9x^2}(12-6x^2) \)
Возводим в квадрат обе части,
\( (4-x^2)(1-18x^2)^2=(1-9x^2)(12-6x^2)^2 \)
После раскрытия скобок, получаем
\( 4-x^2=144-1296x^2 \)
\( 1295x^2=140 \)
\( x^2=\frac{4}{37} \)
\( x=-\frac{2}{\sqrt{37}} \) – т. минимума
\( x=\frac{2}{\sqrt{37}} \) – т. максимума
И подставляем в исходную функцию \( y(\frac{2}{\sqrt{37}})=2 \)
Ответ: 2