Сумма вклада за третий год увеличилась на 54 рубля, а за шестой год – на 128 рублей. Какова была величина вклада в рублях в начале четвертого года, если доход начисляется в конце каждого года хранения вклада и процентная ставка не менялась?
Решение
Пусть изначально была сумма \( S \)
\( \frac{x}{100} \) – проценты
Тогда сумма вклада за 1-ый год увеличится на \( S(1+x) \)
За 2-ой год \( S(1+x)^2 \)
и так далее)
Тогда составим систему исходя из условия
\( S(1+x)^3-S(1+x)^2=54 \)
\( S(1+x)^6-S(1+x)^5=128 \)
Такую систему решить немного сложновато:)
Поэтому давайте понизим степени в системе
Обозначим сумму вклада за первый год \( S(1+x)=S’ \) тогда система перепишется в виде
\( S'(1+x)^2-S(1+x)=54 \)
\( S(1+x)^5-S(1+x)^4=128 \)
Для удобства можно заменить \( 1+x=n \)
\( S’n^2-S’n=54 \)
\( S’n^5-S’n^4=128 \)
\( S’=\frac{54}{n^2-n} \)
\( \frac{54}{n^2-n}n^5-\frac{54}{n^2-n}n^4=128 \)
\( \frac{54}{n-1}n^4-\frac{54}{n-1}n^3=128 \)
\( 54n^3=128 \)
\( n^3=\frac{4}{3} \)
Значит \( n=\frac{4}{3} \)
\( S’=121,5 \)
Сумма вклада в начале 4-го года будет \( S’n^2=121,5*\frac{16}{9}=216 \)
Ответ: 216