Пункты A,B,C и D расположены на одной прямой в указанной последовательности. Пешеход выходит из пункта A со скоростью 5 км/час и направляется в пункт D. Достигнув пункта D, он поворачивает обратно и доходит до пункта B, затратив на всю дорогу 5 час. Известно, что расстояние между A и C он прошел за 3 часа, а расстояния между A и B, B и C, C и D (в заданном порядке) образуют геометрическую прогрессию. Найти расстояние между B и C в километрах.
Решение
Исходя из условия
\( AC+CD+CD+BC=5*5=25 \) (1)
\( AC=3*5=15 \) (2)
\( CD=qBC=q^2AB \) (3)
Рассмотрим (2) и (3)
\( AB+BC=15 \)
\( qAB=BC \)
из этой системы получаем, что \( BC=\frac{15q}{q+1} \)
Подставим (2) в (1), получаем \( 2CD+BC=10 \)
\( 2CD+\frac{15q}{q+1}=10 \)
\( \frac{15q^2}{q+1}=CD \)
Решаем данную систему и получаем
\( (CD,q)=(\frac{5}{2},0,5) \)
\( (CD,q)=(20,-\frac{2}{3}) \) – эта пара не подходит, т.к q>0
Значит получаем, что \( CD=2,5 \) и \( q=0,5 \)
\( BC=\frac{CD}{2}=2*2,5=5 \)
Ответ: 5