Из точки А круговой трассы одновременно начинают равномерное движение в противоположных направлениях два тела. К моменту их встречи первое тело проходит на 200 м больше, чем второе, и возвращается в точку А через 25 мин после встречи. Найдите длину трассы в метрах, если второе тело возвращается в точку А через 36 мин после встречи.
Решение
Пусть \( x \) – длина трассы. \( a,b \) – скорость первого и второго соответственно.
\( t_{в} \) – время встречи
\( t_{в}=\frac{x}{a+b} \) (так как автомобили движутся навстречу друг другу, то их скорости складываются).
\( h_{1}=a*t_{в} \) – расстояние, которое проехал первый автомобиль до встречи
\( h_{2}=b*t_{в} \) – расстояние, которое проехал второй автомобиль до встречи
\( x-h_{1}=25a \) (1)
\( x-h_{2}=36b \) (2)
\( x(1-\frac{a}{a+b})=25a \) (1)
\( x(1-\frac{b}{a+b})=36b \) (2)
Поделим первое на второе
\( \frac{b}{a}=\frac{25a}{36b} \)
Отсюда \( \frac{a}{b}=\frac{6}{5} \)
\( a=1,2b \)
\( h_{1}=h_{2}+200 \) – исходя из условия
\( \frac{ax}{a+b}=\frac{bx}{a+b}+200 \) – умножим на (a+b)
\( x(a-b)=\frac{200}{a+b} \)
\( x=\frac{200(a+b)}{a-b} \) (вспоминаем \( \frac{a}{b}=\frac{6}{5} \) )
\( x=\frac{200(1.2b+b)}{1.2b-b}=\frac{200*2.2}{0.2}=2200 \)
Ответ: 2200