Два пешехода вышли одновременно из пунктов А и В навстречу друг другу. Когда
первый прошел половину пути, второму до конца пути оставалось еще 24 км. Когда
второй прошел половину пути, первому до конца оставалось еще 15 км. Сколько
километров останется пройти второму до А после того, как первый дойдет из А в В?
Решение
Пусть весь путь \( S \) км
Скорость первого \( x \) км/ч
Скорость второго \( y \) км/ч
Составим уравнения исходя из условия
1) \( \frac{S}{2}=xt_{1} \)
\( S-24=yt_{1} \)
Из второго уравнения \( t_{1}=\frac{x(S-24)}{y} \) подставим в первое
\( \frac{S}{2}=\frac{x(S-24)}{y} \) (A)
2) \( S-15=xt_{2} \)
\( \frac{S}{2}=yt_{2} \)
Делаем тоже самое, выражаем t2 из первого и подставляем уже во второе.
\( \frac{S}{2}=\frac{y(S-15)}{x} \) (B)
А теперь рассмотрим уравнения (A) и (B), нам нужно как-то избавится от x и y, я предлагаю умножить эти два уравнения друг на друга. Ну а кто нам мешает это сделать?) Никто!
\( \frac{S^2}{4}=(S-15)(S-24) \)
Раскрывая скобки и решая квадратное уравнение получаем два корня
\( S=12 \)
\( S=40 \)
Ну очевидно, что S=12 быть не может. Значит S=40
Отлично, весь путь мы нашли:)
Теперь читаем последнее предложение из условия
\( 40=xt \)
\( 40-Z=yt \)
\( Z \) – это сколько км останется пройти второму.
\( t=\frac{40}{x} \)
\( 40-Z=\frac{40y}{x} \)
\( Z=40(1-\frac{y}{x}) \)
Осталось найти это неизвестное отношение…. Обратимся к уравнениям (A) и (B) они равны друг другу (S/2 – одинаково). Приравняем их и найдем это отношение)
\( \frac{y(S-15)}{x}=\frac{x(S-24)}{y} \)
\( \frac{y^2}{x^2}=\frac{S-24}{S-15}=\frac{16}{25} \)
\( \frac{y}{x}=\frac{4}{5} \)
\( Z=40(1-\frac{4}{5})=8 \)
Ответ: 8