Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе: игроки случайным образом разбиваются на игровые пары; проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победитель выходит в следующий тур, где встречается со следующим противником, который определен жребием. Всего в турнире 16 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга – Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком‐то туре придется сыграть друг с другом?
Решение
Так как всего в турнире 16 игроков и каждая команда из 2 человек, тогда в каждом туре учавствют:
1) 16 человек
2) 8 человек
3) 4 человека
4) 2 человека
Тогда благоприятные события:
A1 – они попадутся в 1-ом туре \( P(A1)=\frac{1}{15} \)
A2 – не играли в 1-ом туре, но попались во втором, т.е оба матчей в 1-ом туре они выиграли \( P(A2)=\frac{14}{15}*0.5*0.5*\frac{1}{7}=\frac{1}{30} \)
A3 – не играли в 1-ом туре и во 2-ом туре, но попались в 3-ем туре, т.е они выиграли предыдущие два тура
\( P(A_{3})=\frac{14}{15}*0.5*0.5*\frac{6}{7}*0.5*0.5*\frac{1}{3}=\frac{1}{60} \)
A4 – встретились в 4-ом туре, выиграли предыдущие 3 тура
\( P(A_{4})=\frac{14}{15}*0.5*0.5*\frac{6}{7}*0.5*0.5*\frac{2}{3}*0.5*0.5*1=\frac{1}{120} \)
\( P_{иск}(A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4})=P(A_{1})+P(A_{2})+P(A_{3})+P(A_{4}) \)
Ответ: 0,125