При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР‐тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86 % случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев.
Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР‐тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?
Решение
Пусть \( P(A)=x \) – вер-ть, что человек болен
Пусть \( P(C) \) – тест положительный
\( P(B_{1}) \) – тест положительный, если человек болен
\( P(B_{2}) \) – тест положительный, если человек не болен
Пусть \( P(C) \) – вер-ть, что тест положительный
\( P(C)=P(B_{1})+P(B_{2})=x*0,86+(1-x)*(1-0,94)=0,1 \)
Откуда \( x=0,05 \)
Нам нужно найти условную вероятность, что человек болен и получил положительный тест
По формуле Байеса
\( P_{иск}=P(A|C)=\frac{P(C|A)*P(A)}{P(C)}=\frac{0,86*0,05}{P(C)}=\frac{0,05*0,86}{0,1}=0,43 \)
Ответ: 0,43