В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей?
Решение:
Решать эту задачу можно по разному, я покажу крутой способ.
Итак, пусть долг выплачивается \( n \) количество лет, чтобы сумма долга уменьшалась на одну и ту же величину, основной платеж должен быть равен \( \frac{16}{n} \) – это будет в каждом году.
Заполним такую таблицу:
По условию, сумма платежей должна быть равной 38 млн. То есть нам нужно найти сумму арифметической прогрессии, сделаем это по формуле \( S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}*n \)
В первом году, весь платеж будет равен \( \frac{16}{n}+\frac{16*25}{100}=\frac{4(n+4)}{n} \) – это первой член нашей арифметической прогрессии
Второй член арифметической прогрессии равен \( \frac{16}{n}+\frac{16(n-1)*0.25}{n} \)
\( a_{n}=a_{1}+(n-1)*d \) , а \( d=a_{2}-a_{1} \)
Таким образом \( d=-\frac{4}{n} \)
Найдем \( a_{n}=\frac{4(n+4)}{n}-\frac{4(n-1)}{n}=\frac{20}{x} \)
Теперь осталось найти Sn, вот и все)
\( S_{n}=\frac{\frac{4(n+4)}{n}+\frac{20}{n}}{2}*n=38 \)
Отсюда находим \( n \)
Ответ: \( n=10 \)