Доказать непосредственно сходимость ряда и найти сумму.
\( (\frac{1}{2}+\frac{1}{3})+(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2})+…+(\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n})+.. \)
Решение
Перегруппируем \( \frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^n}+…+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{3^n}+.. \)
Очевидно, что здесь 2 бесконечно убывающие геометрические прогрессии
\( S_{1}=\frac{0,5}{1-0,5}=1 \)
\( S_{2}=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=0,5 \)
\( S=S_{1}+S_{2}=1,5 \)
Так как ряд имеет конечную сумму, то он сходится.
Ответ: 1,5